广东东莞樟木头中学   李鸿艳

一．教材分析
1．教材的地位与作用
数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分。现行教材把《数列》放在《函数》之后，我觉得非常合理。本节课《等差数列》是《高中数学第一册》第三章第二节第一课时的内容，是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，也是培养学生数学能力的良好题材。数列部分历来是高考的重点，每年高考都要对其进行重点考察，不仅选择题填空题每年必考，而且解答题也是重点考察的对象。等差数列作为数列部分的主要内容，也就备受青睐。
2．教学目标的确定及依据
教学参考书和教学大纲明确指出：本节的重点是等差数列的概念及其通项公式的推导过程和应用。本节先在具体例子的基础上提出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算。可见本课内容的安排旨在培养学生的观察、归纳、应用能力。同时数学建模已经成为高考命题的热点内容，其中数列应用题在高考中屡屡出现（2001，2002全国）。根据上述分析，我制定了本节课的重点、难点和教学目标：
1）重点、难点
重点：①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②“数学建模”的思想方法
为有效突出重点、突破难点，我采用常规和电教相结合的教学手段。
2）教学目标
①知识目标：（1）理解并掌握等差数列的概念；（2）能用定义判断一个数列是否为等差数列；（3）了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；（4）初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
②能力目标：（1）培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；（2）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；（3）通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
③情感目标：（1）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；（2）通过对等差数列的研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯;（3）通过实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。
二．教法和学法
1．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
三.教学程序分析
（在教学过程中，应注意充分调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。学生情况是教学的重要依据，由于学生的学习基础参差不齐，所以针对这种情况，我在设计教学时，对上、中、下各层次的学生的情况都考虑到了）
本节课的教学过程由（一）新课引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）总结提炼（六）布置作业，六个教学环节构成。
(一).新课引入：：
练习引导(多媒体展示) (约5分钟)
1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______ 。
2. 已知数列{bn}:b1=8, bn= bn-1-3试写出 {bn}的前五项.
3. 为了使孩子上大学有足够的费用，一对夫妇从小孩上初一的时候开始存钱，第一次存了5000元，并计划每年比前一年多存2000元。若小孩正常考上大学，请问该家长后5年每年应存多少钱？
解：1. N﹡或N的真子集{1.2.3.4,…,n} ，解析式
2. 8,5,2,-1,-4 ①
3. 7000，9000，11000，13000，15000 ②
观察，问:数列①、②有何规律?
引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列. （写课题）
（教学设想：通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备；练习2和3 引出两个具体的等差数列,为后面的概念学习建立一个支撑点，为学习新知识创设问题情境，再者通过实例引起学生学习需要和学习兴趣，激发他们的求知欲，启迪他们的思维火花.同时对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力）
(二). 新课探究
1.等差数列的概念．(约5分钟)
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
强调： ①“从第二项起”（这是为了使每一项与它的前一项都存在）；②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）；③公差可以是正数、负数，也可以是0 。
所以上面的①、②都是等差数列，他们的公差分别为2、-3。
[想一想]请问下面的数列是不是等差数列，为什么？
（1）5，8，13，18，23；
（2）0.70，0.71，0.72，0.74，0.76，0.78；
（3）-9，-9，-9，-9，……
（教学设想：通过练习，加深对概念的理解）
2．等差数列数学表达式：
如果等差数列｛an｝首项是an，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：
a2 – a1 =d ，a3 – a2 =d ，a4 – a3 =d ……
an+1 - an = d (n≥1)
3.等差数列的通项公式．(约10分钟)
提出： 如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么这个等差数列的通项公式如何表示？
教师此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，学习后续有关知识后我们可对这个公式进行严格的证明。在这里向大家介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：(多媒体展示)
a2 - a1 =d
a3 - a2=d
a4 –a3 =d
……
an –an-1 =d
将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到
an- a1 =(n-1)d
即 an = a1 +(n-1)d （Ⅰ）
当n=1时，（Ⅰ）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立，因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。
（教学设想：通过该知识点引入“迭加法”这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求）
举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，那么这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2 ， 即an=2n-1 ，其图像是（课件显示）
（教学设想：①练习巩固；②画出该数列的图象，目的是说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。）
(三)．应用例解 (约10分钟)
（题目在投影上显示）
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：（1）由题可知：a1=8，d=5-8=-3，n=20
∴ a20=8+（20-1）×（-3）= -49
（2）解析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an =-401成立。
解：由题可知：a1=-5，d=-9-（-5）=-4，
∴ an= -5+（n-1）×（-4）=-4n-1
令 -4n-1= -401，解得n= 100
即 -401是这个数列的第100项
说明：（1）强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；（2）实际上是求一个方程的正整数解的问题。这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an =-401成立。
例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。（以学生看书上的解题过程为主）
说明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。
例3我国历史上对数列概念的认识起于公元前几百年前.在公元前一百年前成书的《周髀算经》里提到：在周城的平地立八尺高的周髀（表竿），日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气递减9寸9分（以10寸计算），请问9尺5寸应是二十四节中那一节？
分析：由“以后每一节气递减9寸9分（以10寸计算）”可知从冬至开始的“影长”构成等差数列，所以该实际问题就转化为数学模型------等差数列：已知首项a1、末项an以及公差d求项数n的问题（学生讨论分析，学生分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：用｛an｝表示从冬至开始的“影长”组成的等差数列以及公差为-10）
（教学设想：1.加强同学们对应用题的综合分析能力，2.通过数学历史故引出等差数列问题，引人入胜，激发了学生的兴趣；3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的解”的“数学建模”的数学思想方；4。通过该题激发同学们的民族自豪感和爱国热情）
(四)． 反馈练习:(约8分钟)
1．做本小节后的“练习”中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问）。
目的：对学生进行基本技能训练。
2梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。
目的：对学生进行建模思想加强训练。
3.若数例{an} 是等差数列,若 bn= an +c，试证明：数列{bn }是等差数列.
证明: bn-bn-1 = (an+c)-(an-1+c)
= an-an-1
= d (常数)
∴{bn }是等差数列
目的：对学生进行数列问题提高训练
（教学设想：练习1培养学生的计算速度和计算能力；练习2让学生初步领略数学的建模思想；练习3如何用定义证明数列问题）
(五)． 总结提炼
1.等差数列的概念及数学表达式．
强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数
2.等差数列的通项公式 an = a1 +(n-1)d 会知三求一
3．用“数学建模”的思想方法解决实际问题
(六)．布置作业
必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题
选做题：已知等差数列{an}的首项a１= ，第10项是第一个大于1的项。求公差d的取值范围。
（教学设想：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的需求）
四.板书设计
等差数列
一、1.定义

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